已知函數(shù)f(x)=ax+blnx+c(a,b,c是常數(shù))在x=e處的切線方程為(e-1)x+ey-e=0,且f(1)=0.
(Ⅰ)求常數(shù)f(x)的值;
(Ⅱ)若函數(shù)(0,+∞)(f′(x)=a+
b
x
)在區(qū)間f(x)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)x=e的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)由f(x)=a+
b
x
,且f(e)=-
e-1
e
,且f(e)=2-e,即a+
b
e
=-
e-1
e
,且ae+b+c=2-e,又f(1)=a+c=0,從而解出a,b,c的值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=-x+lnx+1(x>0)因此,g(x)=x2+mf(x)=x2-mx+mlnx+m(x>0)得g(x)=2x-m+
m
x
=
1
x
(2x2-mx+m)(x>0)
,令d(x)=2x2-mx+m(x>0),討論(ⅰ)當(dāng)函數(shù)g(x)在(1,3)內(nèi)有一個(gè)極值時(shí),(ⅱ)當(dāng)函數(shù)g(x)在(1,3)內(nèi)有兩個(gè)極值時(shí),從而綜合得出m的范圍.
解答: 解:(Ⅰ)由題設(shè)知,f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f(x)=a+
b
x
,
因?yàn)閒(x)在x=e處的切線方程為(e-1)x+ey-e=0,
所以f(e)=-
e-1
e
,且f(e)=2-e,
a+
b
e
=-
e-1
e
,且ae+b+c=2-e,
又f(1)=a+c=0,
解得a=-1,b=1,c=1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=-x+lnx+1(x>0)
因此,g(x)=x2+mf(x)=x2-mx+mlnx+m(x>0)
g(x)=2x-m+
m
x
=
1
x
(2x2-mx+m)(x>0)
,
令d(x)=2x2-mx+m(x>0).
(ⅰ)當(dāng)函數(shù)g(x)在(1,3)內(nèi)有一個(gè)極值時(shí),
g′(x)=0在(1,3)內(nèi)有且僅有一個(gè)根,
即d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)內(nèi)有且僅有一個(gè)根,
又因?yàn)閐(1)=2>0,當(dāng)d(3)=0,
即m=9時(shí),d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)內(nèi)有且僅有一個(gè)根x=
3
2
,
當(dāng)d(3)≠0時(shí),應(yīng)有d(3)<0,即2×32-3m+m<0,
解得m>9,
所以有m≥9.
(ⅱ)當(dāng)函數(shù)g(x)在(1,3)內(nèi)有兩個(gè)極值時(shí),
g′(x)=0在(1,3)內(nèi)有兩個(gè)根,
即二次函數(shù)d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)內(nèi)有兩個(gè)不等根,
所以
△=m2-4×2×m>0\hfill
d(1)=2-m+m>0\hfill
d(3)=2×32-3m+m>0\hfill
1<
m
4
<3\hfill
,
解得8<m<9.
綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(8,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考察了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,參數(shù)的范圍,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考察了分類討論思想,是一道綜合題.
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設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=1,
2Sn
n
=an+1-
1
3
n2-n-
2
3
,n∈N*
(1)求a2的值;
(2)求證:數(shù)列{
an
n
}是等差數(shù)列;
(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形ABB1A1是菱形,四邊形CBB1C1是矩形,AB⊥BC,CB=3,AB=4,∠A1AB=60°,D、E分別是AC、A1B的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面CA1B⊥平面ABB1A1;
(Ⅱ)求證:DE∥平面CBB1C1
(Ⅲ)求四面體A1ABC的體積.

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已知直線y=-x+1與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)在直線l:x-2y=0上,求此橢圓的離心率.

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如圖,三角形ABC中AB=3,AC=6,∠BAC=60°,D為BC中點(diǎn).
(1)試用向量
AB
AC
表示
BC
;
(2)求BC的長;
(3)求中線AD的長.

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某城市理論預(yù)測2000年到2004年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如表所示:
年份200x(年)01234
人口數(shù) y (十萬)5781119
(Ⅰ)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(Ⅱ)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出 y 關(guān)于x的線性回歸方程;
(Ⅲ)據(jù)此估計(jì)2005年該城市人口總數(shù).
參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式 
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
xy
n
i=1
xi2-n
.
x
2
a
=
.
y
-
b
.
x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠CAD=90°,PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,AB=
2
,F(xiàn)是BC的中點(diǎn).
(1)求證:DA⊥平面PAC;
(2)若以A為坐標(biāo)原點(diǎn),射線AC、AD、AP分別是軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,已經(jīng)計(jì)算得
=(1,1,1)是平面PCD的法向量,求平面PAF與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x3-6x+5,x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)已知當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)≥k(x-1)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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