如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠CAD=90°,PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,AB=
2
,F(xiàn)是BC的中點.
(1)求證:DA⊥平面PAC;
(2)若以A為坐標原點,射線AC、AD、AP分別是軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標系,已經(jīng)計算得
=(1,1,1)是平面PCD的法向量,求平面PAF與平面PCD所成銳二面角的余弦值.
考點:二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定
專題:空間角
分析:(1)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明DA⊥平面PAC;
(2)求出平面PAF的法向量,利用空間向量法即可求出二面角的大。
解答: 解:(1)證明:∵四邊形是平行四邊形,
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥DA,又AC⊥DA,AC∩PA=A,
∴DA⊥平面PAC.
(2)在空間直角坐標系內(nèi),A(0,0,0),C(1,0,0),B(1,-1,0),D(0,1,0),F(xiàn)(1,-
1
2
,0),P(0,0,1),
AP
=(0,0,1)
,
AF
=(1,-
1
2
,0),
設(shè)平面PAF一個法向量為
m
=(x,y,z),
m
AP
=z=0
x-
1
2
y=0
,令y=2,則x=1,即
m
=(1,2,0),
又平面PCD法向量為
=(1,1,1),
∴cos<
m
,
>=
m
n
|
m
|•|
n
|
=
1+2
3
5
=
15
5
,
∴所求二面角的余弦值為
15
5
點評:本題主要考查線面垂直的判斷以及二面角的計算,利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)向量
a
=(5
3
cosx,cosx),
b
=(sinx,2cosx),函數(shù)f(x)=
a
b
+|
b
|2+
3
2

(1)求x∈[-
π
6
,
π
2
]時,求函數(shù)f(x)的值域.
(2)將y=f(x)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位后,再將得到的圖象向下平移5個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若函數(shù)y=g(x)是偶函數(shù),求φ的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax+blnx+c(a,b,c是常數(shù))在x=e處的切線方程為(e-1)x+ey-e=0,且f(1)=0.
(Ⅰ)求常數(shù)f(x)的值;
(Ⅱ)若函數(shù)(0,+∞)(f′(x)=a+
b
x
)在區(qū)間f(x)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)x=e的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a<0,求解關(guān)于x的不等式
ax
x-2
>1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知命題p:方程x2+ax-2a2=0在(-1,1)上有解;命題q:函數(shù)f(x)=loga(x2-2ax+2)在[2,3]上單調(diào)遞增,若命題“p∨q”是真命題,“p∧q”是假命題,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

為了檢測某種產(chǎn)品的質(zhì)量,抽取了一個容量為100的樣本,數(shù)據(jù)的分組情況與頻數(shù)如下:.
(1)完成頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖以及頻率分布折線圖;
(3)據(jù)上述圖表,估計數(shù)據(jù)落在[10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性;
(4)數(shù)據(jù)小于11.20的可能性是百分之幾
頻率分布表如下:
分組頻數(shù)頻率
[10.75,10.85)30.03
[10.85,10.95)9
[10.95,11.05)130.13
[11.05,11.15)160.16
[11.15,11.25)
[11.25,11.35)200.20
[11.35,11.45)70.07
[11.45,11.55)40.04
[11.55,11.65]0.02
合計1001.00

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
ax2-lnx,a∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]的最小值為1,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

判函數(shù)f(x)=lg(sinx+
1+sin2x
)的奇偶性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求函數(shù)y=2sin(
1
2
x-
π
6
)的對稱軸和對稱中心.

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同步練習(xí)冊答案