Question

6．已知集合A={x∈R|x⁴+mx-2=0}，滿足a∈A的所有點(diǎn)M（a，$\frac{2}{a}$）均在直線y=x的同側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （-$\sqrt{2}$，-1）∪（1，$\sqrt{2}$）
• C． （-5，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，6）
• D． （-∞，-6）∪（6，+∞）

Answer 1

分析 原方程等價(jià)于x³+m=$\frac{2}{x}$，原方程的實(shí)根是曲線y=x³+m與曲線y=$\frac{2}{x}$的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出左右兩邊函數(shù)的圖象：分m＞0與m＜0討論，可得答案

解答 解：∵集合A={x∈R|x⁴+mx-2=0}，
∴方程的根顯然x≠0，原方程等價(jià)于x³+m=$\frac{2}{x}$，
原方程的實(shí)根是曲線y=x³+m與曲線y=$\frac{2}{x}$的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
而曲線y=x³+m是由曲線y=x³向上或向下平移|m|個(gè)單位而得到的，
若交點(diǎn)（x₁，$\frac{2}{{x}_{1}}$）（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側(cè)，
因直線y=x與y=$\frac{2}{x}$交點(diǎn)為：（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
所以結(jié)合圖象可得$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{（-\sqrt{2}）^{3}+m＞-\sqrt{2}}\\{x＜-\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{（\sqrt{2}）^{3}+m＜\sqrt{2}}\\{x＞\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得m＞$\sqrt{2}$或m＜-$\sqrt{2}$．
答案為：m＞$\sqrt{2}$或m＜-$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了反比例函數(shù)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)