Question

條件求值：
（1）已知6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0，α∈[

π

2

，π]，求sin(2α+

π

3

)的值；
（2）已知tan（

π

4

+α）=

1

2

（i）求tanα的值
（ii）求

sin2α-cos2α

1+cos2α

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）原等式可化簡(jiǎn)為

65

4

sin2α²+2sin2α-12=0，因?yàn)?α∈[π，2π]從而可解得sin2α=-

12

13

，故cos2α=±

5

13

，即可求出sin（2α+

π

3

）的值；
（2）（i）由已知可化簡(jiǎn)得

1+tanα

1-tanα

=

1

2

故有tanα=-

1

3

．（ii）原式可化簡(jiǎn)為

sin2α-cos2α

1+cos2α

=

2sinαcosα-cos2α

cos2α

=

2tanα-1

2

，代入（i）所求即可求值．

解答： 解：（1）6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0
⇒

1

2

sin2α-4cos2α+2=0
⇒

65

4

sin2α²+2sin2α-12=0
因?yàn)棣痢蔥

π

2

，π]，故2α∈[π，2π]
所以可解得sin2α=-

12

13

或者

52

65

（舍去）
故cos2α=

1-sin22α

=±

5

13

所以sin（2α+

π

3

）=

1

2

sin2α+

3

2

cos2α=

5 3 -12

26

或

-5 3 -12

26

．
（2）（i）tan（

π

4

+α）=

1

2

⇒

tan π 4 +tanα

1-tan π 4 tanα

=

1

2

⇒

1+tanα

1-tanα

=

1

2

⇒tanα=-

1

3

．
（ii）

sin2α-cos2α

1+cos2α

=

2sinαcosα-cos2α

cos2α

=

2tanα-1

2

=-

5

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．