Question

從下列題中選答1題，多選按所做的前1題記分）
（1）已知：a、b、c∈R，且a+b+c=1．求證：a²+b²+c²≥

1

3

．
（2）求證：

6

-

5

＞2

2

-

7

（3）已知a＞0，b＞0，且a+b＞2，求證：

1+b

a

，

1+a

b

中至少有一個小于2．

Answer 1

考點：不等式的證明,反證法與放縮法

專題：證明題,推理和證明

分析：（1）由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，三式相加可得a²+b²+c²≥ab+bc+ca，進一步利用基本不等式，結合a+b+c=1可證得結論；
（2）42＞40⇒13+2

42

＞13+2

40

⇒(

6

+

7

 )2＞(2

2

+

5

 )2，從而可證得結論；
（3）利用反證法，假設

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，則

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2，導出矛盾即可推翻假設，從而肯定原結論成立．

解答： （1）證明：由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca．
三式相加得a²+b²+c²≥ab+bc+ca．
∴3（a²+b²+c²）≥（a²+b²+c²）+2（ab+bc+ca）=（a+b+c）²．
由a+b+c=1，得3（a²+b²+c²）≥1，
即a²+b²+c²≥

1

3

．
（2）證明：因為42＞40，所以13+2

42

＞13+2

40

，即(

6

+

7

 )2＞(2

2

+

5

 )2，所以

6

+

7

 ＞2

2

+

5

，即

6

-

5

 ＞2

2

-

7

（3）證明：假設

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，則

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2．
因為a＞0，b＞0，所以1+b≥2a，1+a≥2b，
兩式相加可得1+1+a+b≥2（a+b），即2≥a+b，
這與已知a+b＞2矛盾，故假設不成立，
即

1+b

a

，

1+a

b

中至少有一個小于2．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查綜合法、分析法與反證法的應用，考查推理論證能力，屬于中檔題．