Question

函數(shù)f（x）=alnx+x，對(duì)任意的x∈[

1

e

，e]時(shí)，f（x）≥0恒成立，則a的范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：x＞0，f′(x)=

a

x

+1=

a+x

x

，要使f（x）≥0恒成立，則只需當(dāng)x∈[

1

e

，e]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值，讓最小值滿(mǎn)足大于0即可．

解答： 解：∵f（x）=alnx+x，
∴x＞0，f′(x)=

a

x

+1=

a+x

x

，
要使f（x）≥0恒成立，則只需當(dāng)x∈[

1

e

，e]時(shí)，
求函數(shù)f（x）的最小值，讓最小值滿(mǎn)足大于0，即可．
若a≥0，f'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)在[

1

e

，e]單調(diào)遞增，
最小值為f（

1

e

）=aln

1

e

+

1

e

=

1

e

-a，此時(shí)由

1

e

-a≥0，
解得0≤a≤

1

e

．
若a＜0，由f'（x）=0，得x=-a，函數(shù)f（x）在x=-a處取得極小值．
若-a＜

1

e

，在函數(shù)在[

1

e

，e]單調(diào)遞增，
∴最小值為f（

1

e

）=aln

1

e

+

1

e

=

1

e

-a，此時(shí)

1

e

-a≥0恒成立，
此時(shí)-

1

e

＜a＜0．
若

1

e

＜-a＜e，此時(shí)函數(shù)在x=-a處取得最小值，
此時(shí)f（-a）=aln（-a）-a≥0，解得-e≤a．
若-a≥e，此時(shí)函數(shù)在[

1

e

，e]單調(diào)遞遞減，
此時(shí)最小值為f（e）=alne+e≥0，解得a≥-e．
綜上：a的范圍為[-e，

1

e

]．
故答案為：[-e，  

1

e

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用，合理運(yùn)用分類(lèi)討論思想進(jìn)行解題．