Question

13．在三棱錐P-ABC中，PB⊥地面ABC，∠BCA=90°，E，M分別為PC，AB的中點，點F在PA上，且AF=2FP．
（1）求證：AC⊥平面PBC；
（2）求證：CM∥平面BEF．

Answer 1

分析 （1）證明AC⊥PB，AC⊥CB，即可證明AC⊥平面PBC；                          
（2）取AF的中點G，連結CG，GM，證明平面CMG∥平面BEF，即可證明CM∥平面BEF．

解答 證明：（1）因為PB⊥底面ABC，AC?底面ABC，
所以AC⊥PB；
又∠BCA=90°，所以AC⊥CB；
且PB∩CB=B，PB?平面PBC，CB?平面PBC，
所以AC⊥平面PBC；
（2）取AF的中點G，連結CG，GM，如圖所示；

因為AF=2FP，G為AF中點，所以F為PG中點；
在△PCG中，E，F(xiàn)分別為PC，PG中點，
所以EF∥CG；
又CG?平面BEF，EF?平面BEF，
所以CG∥平面BEF；
同理：GM∥平面BEF，
又CG∩GM=G，
所以平面CMG∥平面BEF；
又CM?平面CMG，
所以CM∥平面BEF．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關系的應用問題，也考查了空間想象能力與邏輯思想能力的應用問題．