Question

15．已知數(shù)列{a_n}，$\overrightarrow{x}$=（a_n+1，-2），$\overrightarrow{y}$=（1，a_n），且$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，a₃+2是a₂與a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若滿(mǎn)足b_n=13+2log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，可知a_n+1-2a_n=0，再利用a₃+2是a₂與a₄的等差中項(xiàng)，可得a_n=2ⁿ；
（2）由（1）計(jì)算出$lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{n}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}{2}^{n}$=-n，則b_n=13-2n，從而可得S_n的最大值為b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{x}$=（a_n+1，-2），$\overrightarrow{y}$=（1，a_n），且$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，
∴$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=0$，即a_n+1-2a_n=0，
所以數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，
又∵a₃+2是a₂與a₄的等差中項(xiàng)，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，即$2（{2}^{2}{a}_{1}+2）=2{a}_{1}+{2}^{3}{a}_{1}$，解得a₁=2，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（2）由（1）知a_n=2ⁿ，所以$lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{n}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}{2}^{n}$=-n，
則b_n=13+2log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=13+2×（-n）=13-2n，
所以數(shù)列{b_n}是一個(gè)遞減數(shù)列，
且b₆=13-2×6=1，b₇=13-2×7=-1，
故S_n的最大值為b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆
=11+9+7+5+3+1
=36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量與數(shù)列的綜合，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，屬于中檔題．