Question

11．已知函數(shù)f（x）=log_a（a-k•a^x）（a＞0，a≠1）．
（1）當a∈（0，1）時，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上有意義，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）當a＞1時，若函數(shù)f（x）的反函數(shù)就是它本身，求k的值及函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的意義，a-k•a^x＞0，利用分離常數(shù)法求出k的取值范圍；
（2）求出函數(shù)y的反函數(shù)，利用原函數(shù)與反函數(shù)是同一函數(shù)，列出關于k的恒等式，從而求出k的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=log_a（a-k•a^x）（a＞0，a≠1），
當a∈（0，1）時，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上有意義，
∴a-k•a^x＞0，
即a＞k•a^x，
∴k＜a^1-x；
當x∈[1，+∞）時，1-x∈（-∞，0]，
又a∈（0，1），
∴a^1-x≥a⁰=1，
∴實數(shù)k的取值范圍是k＜1；
（2）∵y=f（x）=log_a（a-ka^x），a＞1，
∴a^y=a-ka^x，
∴x=log_a$\frac{a{-a}^{y}}{k}$，
交換x、y的位置，得
f（x）的反函數(shù)為y=log_a$\frac{a{-a}^{x}}{k}$；
又∵f（x）的原函數(shù)與反函數(shù)是同一函數(shù)，
∴l(xiāng)og_a（a-ka^x）=log_a$\frac{a{-a}^{x}}{k}$恒成立，
即a-ka^x=$\frac{a{-a}^{x}}{k}$恒成立，
即（k²-1）a^x+（1-k）a=0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-1=0}\\{1-k=0}\end{array}\right.$，
解得k=1；
此時f（x）=log_a（a-a^x），（a＞1）．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)與反函數(shù)的應用問題，考查了不等式的解法與應用問題，是綜合性題目．