Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，側(cè)面ABB₁A₁是菱形，且∠A₁AB=60°，M是AB的中點(diǎn)，A₁M⊥AC
（1）求證：A₁M⊥平面ABC；
（2）求二面角A₁-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得△A₁BA為正三角形，由此能證明A₁M⊥平面ABC．
（2）以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形ABB₁A₁邊長(zhǎng)為2，由此利用向量法能求出二面角A₁-BB₁-C的余弦值．

解答： （本小題滿分12分）
（1）∵側(cè)面ABB₁A₁是菱形且∠A₁AB=60°，
∴△A₁BA為正三角形
又∵點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，∴A₁M⊥AB，
又∵A₁M⊥AC，∴A₁M⊥平面ABC．（5分）
（2）如圖以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)菱形ABB₁A₁邊長(zhǎng)為2，
得B1(2，0，

3

)，B（1，0，0）C(0，

3

，0)，

BB1

=(1，0，

3

)，

BC

=(-1，

3

，0)，
設(shè)面ABB₁A₁的法向量

n1

=

MC=

(0，0，

3

)，
設(shè)面BB₁C₁C的法向量

n2

=(x ，y ，z )，
由

n2

⊥

BB1

，

n2

⊥

BC

，得

x+ 3 y=0 x+ 3 z=0

，令z=1，得

n2

=(-

3

，1，1)，
∴cos?

n1

，

n2

＞=

n1 n2

| n1 |•| n2 |

=

5

5

．
又二面角A₁-BB₁-C為銳角，
∴所求二面角的余弦值為

5

5

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．