已知線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，|AB|=4，點(diǎn)C在線段AB上且
BC
=3
CA
．
（I）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)（1，0）作兩條互相垂直的直線分別交點(diǎn)C的軌跡于D、E和F、G，線段DE和FG的中點(diǎn)分別為M、N，問(wèn)直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），A（a，0），B（0，b），由
BC
=3
CA
，得a=
4x
3
，b=4y，且a2+b2=16，由此能求出點(diǎn)C的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)直線DE的方程為y=k（x-1），代入點(diǎn)C的軌跡方程，得到（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，從而DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為（
9k2
1+9k2
，
-k
1+9k2
），點(diǎn)N的坐標(biāo)（
9
9+k2
，
k
9+k2
），進(jìn)而直線MN的方程為
9(1-k2)
10k
y=x-
9
10
，由此能求出直線MN過(guò)定點(diǎn)（
9
10
，0
解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），A（a，0），B（0，b），
由
BC
=3
CA
，得a=
4x
3
，b=4y，
且a2+b2=16，
∴
16
9
x2+16y2=16，
∴點(diǎn)C的軌跡方程為
x2
9
+y2=1．
（Ⅱ）若兩直線斜率均存在，設(shè)直線DE的方程為y=k（x-1），
代入點(diǎn)C的軌跡方程，得到：（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，
∴DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（
9k2
1+9k2
，
-k
1+9k2
），
將上式中的k用-
1
k
代換，得到點(diǎn)N的坐標(biāo)（
9
9+k2
，
k
9+k2
），
由點(diǎn)M，N的坐標(biāo)得到直線MN的方程為
9(1-k2)
10k
y=x-
9
10
，
∴直線MN過(guò)定點(diǎn)（
9
10
，0），
若兩直線中有一條斜率不存在，則由題意知直線MN為x軸，
上述結(jié)論仍然成立，
∴直線MN過(guò)定點(diǎn)（
9
10
，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線是否過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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（2）如果1＜x1＜2，x2-x1=2，求證：b＜
1
4
；
（3）如果a≥2，x2-x1=2，且x∈（x1，x2），函數(shù)g（x）=-f（x）+2（x2-x）的最大值為h（a），求h（a）的最小值．

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已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，離心率
6
3
且過(guò)點(diǎn)（
5
，0），過(guò)定點(diǎn)C（-1，0）的動(dòng)直線與該橢圓相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-
1
2
，求直線AB的方程；
（2）設(shè)x軸上是否存在點(diǎn)M，使
MA
•
MB
為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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．

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