解:(1)
,(1分),
.
.
(2)設A(a,0),B(0,b),(a>2,b>2),
l:bx+ay-ab=0.
,
(a-2)(b-2)=2,ab-2(a+b)+2=0,
,
,(6分)
.當且僅當
時,
.
面積
,
此時△AOB為直角邊長為
的等腰直角三角形.
周長
.
此時△AOB為直角邊長為
的等腰直角三角形.
∴此時的△AOB為同一三角形.
(3)l的方程為
,得
,
⊙M:(x-1)
2+(y-1)
2=1,設P(m,n)為圓上任一點,
則:(m-1)
2+(n-1)
2=1,m
2+n
2=2(m+n)-1,
,
.
=
.
當
時,
.
此時,
.
當
時,
.
此時,
.
分析:(1)先求得圓心與切點連線的斜率
再由兩者互為負倒數(shù)求得
.進而求得直線l的方程;
(2)設A(a,0),B(0,b),(a>2,b>2),直線AB的方程為::bx+ay-ab=0.圓心到該直線的距離為
,整理得(a-2)(b-2)=2,有ab-2(a+b)+2=0,再由基本不等式得
,
.三角形面積
,周長
.取得最值的條件一致.所以△AOB為同一三角形.
(3)l的方程為
,解得
,P(m,n)為圓上任一點,
=
.
又因為(m-1)
2+(n-1)
2=1,m
2+n
2=2(m+n)-1,
,所以
代入上式求解即可.
點評:本題主要考查直線與圓的位置關系及其方程的應用,還考查了用解析法研究三角形面積,周長及線段長的最值問題,