Question

在直角坐標系xOy中，直線l與x軸正半軸和y軸正半軸分別相交于A，B兩點，△AOB的內(nèi)切圓為⊙M．
（1）如果⊙M半徑為1，l與⊙M切于點，求直線l的方程；
（2）如果⊙M半徑為1，證明當△AOB的面積、周長最小時，此時△AOB為同一三角形；
（3）如果l的方程為，P為⊙M上任一點，求PA²+PB²+PO²的最值．

Answer 1

解：（1），（1分），．．
（2）設A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），
l：bx+ay-ab=0.，
（a-2）（b-2）=2，ab-2（a+b）+2=0，，，（6分）
．當且僅當時，．
面積，
此時△AOB為直角邊長為的等腰直角三角形．
周長．
此時△AOB為直角邊長為的等腰直角三角形．
∴此時的△AOB為同一三角形．

（3）l的方程為，得，
⊙M：（x-1）²+（y-1）²=1，設P（m，n）為圓上任一點，
則：（m-1）²+（n-1）²=1，m²+n²=2（m+n）-1，，．=．
當時，．
此時，．
當時，．
此時，．
分析：（1）先求得圓心與切點連線的斜率再由兩者互為負倒數(shù)求得．進而求得直線l的方程；
（2）設A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），直線AB的方程為：：bx+ay-ab=0．圓心到該直線的距離為，整理得（a-2）（b-2）=2，有ab-2（a+b）+2=0，再由基本不等式得，
．三角形面積，周長．取得最值的條件一致．所以△AOB為同一三角形．
（3）l的方程為，解得，P（m，n）為圓上任一點，=．
又因為（m-1）²+（n-1）²=1，m²+n²=2（m+n）-1，，所以代入上式求解即可．
點評：本題主要考查直線與圓的位置關系及其方程的應用，還考查了用解析法研究三角形面積，周長及線段長的最值問題，