Question

如圖，已知BC為⊙O的直徑，點A、F在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D，BF交AD于E，且AE=BE．
（1）求證：AB=AF；
（2）如果sin∠FBC=

3

5

，AB═4

5

，求AD的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓,立體幾何

分析：（1）由已知條件推導出∠ABF=∠BAD，∠BAD=∠BCA=∠BFA，從而得到∠ABF=∠BFA，由此能證明AB=AF．
（2）由已知條件推導出∠FCB=2∠ACB，BF⊥CF，sin∠FBC=cos∠FCB=cos2∠ACB=

3

5

，從而得到cos∠ACB=

AC

BC

=

2

5

，由已知條件推導出△ABD∽△CBA，由此能培育出AD．

解答： （1）證明：∵AE=BE，∴∠ABF=∠BAD，
∵∠BAD和∠BCA是垂徑定理分成的等弧所對的圓周角，
∠BCA和∠BFA是同弧所對的圓周角，
∴∠BAD=∠BCA=∠BFA，
∴∠ABF=∠BFA，∴AB=AF．
（2）解：∵AB=AF，∴∠ACB=∠ACF=

∠FCB

2

，
∴∠FCB=2∠ACB．
∵BC是⊙O的直徑，∴BF⊥CF，
∴sin∠FBC=cos∠FCB=cos2∠ACB=

3

5

，
∴2（cos∠ACB）²-1=

3

5

，
∴2（cos∠ACB）²=

8

5

，∴cos∠ACB=

2

5

，
∵AB⊥AC，∴cos∠ACB=

AC

BC

=

2

5

，
∵∠BAD=∠ACB，∠ADB=∠CAB=90°，
∴△ABD∽△CBA，∴

AB

BC

=

AD

AC

，
∴AD=AB×

AC

BC

=4

5

×

2

5

=8．

點評：本題考查線段相等的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意垂徑定理、三角形相似等知識點的合理運用．