Question

在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸為非負半軸為極軸建立極坐標系，設⊙C的極坐標方程為ρ=2sinθ，點P為⊙C上一動點，點M的極坐標為(4，

π

2

)，點Q為線段PM的中點．
（1）求點Q的軌跡C₁的方程；
（2）試判定軌跡C₁和⊙C的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先確定⊙C的直角坐標方程，再利用點Q為線段PM的中點，求得坐標之間的關系，利用代入法，即可求得點Q的軌跡C₁的方程；
（2）確定圓心坐標，利用兩圓圓心距為等于兩圓半徑和，可得結論．

解答：解：（1）∵⊙C的極坐標方程為ρ=2sinθ，∴⊙C的直角坐標方程為x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1；
∵點M的極坐標為(4，

π

2

)，∴直角坐標為（0，4）
設P（x₀，y₀），Q（x，y），則x₀²+（y₀-1）²=1①
∵點Q為線段PM的中點，∴

x0=2x y0=2y-4

代入①，可得點Q的軌跡C₁的方程x²+（y-

5

2

）²=

1

4

；
（2）x²+（y-1）²=1的圓心坐標為（0，1），半徑為1；x²+（y-

5

2

）²=

1

4

的圓心坐標為（0，

5

2

），半徑為

1

2

∴兩圓圓心距為

3

2

，等于兩圓半徑和，所以兩圓外切．

點評：本題考查代入法求軌跡方程，考查圓與圓的位置關系，考查學生的計算能力．