Question

【題目】設(shè)是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，，是和的等比中項，的前項和為，.

（1）求和的通項公式;

（2）設(shè)數(shù)列的通項公式.

（i）求數(shù)列的前項和；

（ii）求.

Answer 1

【答案】（1），；（2）（i）；（ii）

【解析】

（1）因為，是和的等比中項，根據(jù)等比中項可求得，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出，利用與的關(guān)系，證出是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項公式；

（2）根據(jù)（1）中和的通項公式，列出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法，分成奇數(shù)組和偶數(shù)組，即可求出數(shù)列的前項和；

將分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，運(yùn)用裂項相消法化簡求出結(jié)果；當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，運(yùn)用錯位相減法求出結(jié)果；分別求解出后，相加求得的值即可．

（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，

因為，是和的等比中項，

所以，即，

解得，因為是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，

所以，

故，

因為，所以，

兩式相減得：，

當(dāng)時，，，

是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

.

（2）（i）解：，

所以

.

（ii）解：當(dāng)為奇數(shù)時，

設(shè)

，

當(dāng)為偶數(shù)時，

設(shè)，

，

所以，

故，

所以.