Question

設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：，b_n+1=b_n²+b_n，
（1）求證：；
（2）若T_n=++…+，對(duì)任意的正整數(shù)n，3T_n-log₂m-5＞0恒成立．求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1））要證明，只要能證b_n+1=b_n（b_n+1），而 由已知：b_n+1=b_n²+b_n，推導(dǎo)即可
 （2）由（1）可求得 ，結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn)考慮利用裂項(xiàng)求和，從而可得數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，最后將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解即可
解答：解：（1）∵，b_n+1=b_n²+b_n=b_n（b_n+1），
∴對(duì)任意正整數(shù)n＞0，有即：．…（4分）
（2）Tn=（）+（）+…+（）==2-．…（7分）
∵b _n+1-b_n=b_n²＞0，∴bn+1＞bn，∴數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．
∴數(shù)列{Tn}關(guān)于n遞增．∴T_n≥T₁．…（10分）
∵，∴
∴…（12分）
∴
∵3T_n-log₂m-5＞0恒成立，∴l(xiāng)og₂m＜3T_n-5恒成立，
∴l(xiāng)og₂m＜-3…（14分）
∴．…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，數(shù)列求和中的裂項(xiàng)求和，屬于基本方法的應(yīng)用．