（自選模塊）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=
3
2sin2x+1
+
8
3cos2x+2
，（x∈R）的最小值．
（Ⅱ）已知m，n∈R，a，b∈R+，n2m2＞a2m2+b2n2，證明：
m2+n2
＞a+b．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：綜合題,選作題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）f（x）=
3
2sin2x+1
+
8
3cos2x+2
=
9
6sin2x+3
+
16
6cos2x+4
，利用柯西不等式求最值；
（Ⅱ）n2m2＞a2m2+b2n2，變形為1＞
a2
n2
+
b2
m2
，再利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可得證．
解答： （Ⅰ）解：f（x）=
3
2sin2x+1
+
8
3cos2x+2
=
9
6sin2x+3
+
16
6cos2x+4

=
1
13
[（6sin2x+3）+（6cos2x+4）]（
9
6sin2x+3
+
16
6cos2x+4
）≥
1
13
•(3+4)2=
49
13
，
當(dāng)且僅當(dāng)tanx=±
3
2
時(shí)取等號(hào)，函數(shù)取得最小值為
49
13
；
（Ⅱ）證明：∵m，n∈R，a，b∈R+，n2m2＞a2m2+b2n2，
∴1＞
a2
n2
+
b2
m2
，
∴m2+n2＞（
a2
n2
+
b2
m2
）（m2+n2）＞（a+b）2，
∴
m2+n2
＞a+b．
點(diǎn)評(píng)：本題考查柯西不等式求最值，考查基本不等式證明不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，扇形AOB的弧的中點(diǎn)為M，動(dòng)點(diǎn)C、D分別在OA、OB上，且OC=BD，OA=1，∠AOB=120．
（1）若點(diǎn)D是線段OB靠近點(diǎn)O的四分之一分點(diǎn)，用
OA
、
OB
表示向量
MC
；
（2）求
MC
•
MD
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A{x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求A∪B和A∩B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）函數(shù)y=
2
3
sin（
1
2
x-
π
4
）的振幅、周期和頻率各是多少？它的圖象與正弦曲線有什么關(guān)系？
（2）求函數(shù)y=tan（
π
2
x+
π
3
）的定義域、周期與單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

二次三項(xiàng)式f（x）=ax2-bx+c的系數(shù)都是整數(shù)，而且f（x）在（0，1）中有兩個(gè)不同的實(shí)根，求出使上述條件成立的最小正整數(shù)a．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下面命題：
①函數(shù)y=cos（
3
2
x+
π
2
）是奇函數(shù)；
②存在實(shí)數(shù)α，使得sinα+cosα=
3
2
；
③若α、β是第一象限角，且α＜β，則tanα＜tanβ；
④x=
π
8
是函數(shù)y=sin（2x+
5
4
π）的一條對(duì)稱軸；
⑤y=2sin
3
2
x在區(qū)間[-
π
3
，
π
2
]上的最小值是-2，最大值是
2
．
其中正確的命題的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計(jì)算2-
1
2
+
(-4)0
2
+
1
2
-1
-
(1-
5
)0
，結(jié)果是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f1（x）=
2
x+1
，而fn+1（x）=f1[fn（x）]，n∈N*，記an=
fn(2)-1
fn(2)+2
，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3x2-4，x＞0
1，x≤0
，則f（f（0））=
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案