Question

二次三項(xiàng)式f（x）=ax²-bx+c的系數(shù)都是整數(shù)，而且f（x）在（0，1）中有兩個(gè)不同的實(shí)根，求出使上述條件成立的最小正整數(shù)a．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（x）=ax²-bx+c在（0，1）中有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于b²-4ac＞0，且f（0）•f（1）＞0，0＜

b

2a

＜1，解不等式得到bc-c²＜ac＜

b2

4

，求出當(dāng)c＞0時(shí)，有b-c＜a＜

b2

4c

，則

b2

4c

為正整數(shù)，分別討論①|(zhì)b|=2，c=1時(shí)，a無最小整數(shù)值；②|b|=4，c=1時(shí)，a有最小整數(shù)值1；③|b|=2，c=-1時(shí)，有-1＜a＜1或-1＜a＜3，此時(shí)a有最小整數(shù)值1，根據(jù)結(jié)論即可得到答案．

解答： 解：∵f（x）=ax²-bx+c在（0，1）中有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴b²-4ac＞0，且f（0）•f（1）＞0，0＜

b

2a

＜1，
∴b²-4ac＞0，且c（a-b+c）=ac-bc+c²＞0，0＜

b

2a

＜1，
解上述不等式bc-c²＜ac＜

b2

4

，a b c均為整數(shù)，c=0時(shí)不等式不成立，
∴c≠0，∴b²≥4，
|b|≥2，當(dāng)c＞0時(shí)，有b-c＜a＜

b2

4c

，則

b2

4c

為正整數(shù)，
|b|=2，c=1時(shí)，有-3＜a＜1或-1＜a＜1，此時(shí)a無最小整數(shù)值；
|b|=4，c=1時(shí)，有-5＜a＜4或3＜a＜4，此時(shí)a有最小整數(shù)值；
若c＜0，有

b2

4c

＜a＜b-c，且

b2

4c

為負(fù)整數(shù)，
|b|=2，c=-1時(shí)，有-1＜a＜1或-1＜a＜3，此時(shí)a有最小整數(shù)值，
綜合上述：a的最小整數(shù)值是1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)根的判別式，一元二次方程的根的分布等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．