Question

給出下面命題：
①函數(shù)y=cos（

3

2

x+

π

2

）是奇函數(shù)；
②存在實數(shù)α，使得sinα+cosα=

3

2

；
③若α、β是第一象限角，且α＜β，則tanα＜tanβ；
④x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5

4

π）的一條對稱軸；
⑤y=2sin

3

2

x在區(qū)間[-

π

3

，

π

2

]上的最小值是-2，最大值是

2

．
其中正確的命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：對于命題①，利用三角函數(shù)的誘導公式化簡后加以判斷；
對于命題②，化積后求值域可判斷真假；
對于命題③，舉特例說明是假命題；
對于命題④，直接把x的值代入，求出函數(shù)值看是否為±1判斷；
對于命題⑤，直接求函數(shù)的值域判斷．

解答： 解：∵函數(shù)y=cos（

3

2

x+

π

2

）=-sin

3

2

x是奇函數(shù)，∴命題①正確；
∵sinα+cosα=

2

sin(x+

π

4

)，∴sinα+cosα的最大值為

2

＜

3

2

，∴命題②錯誤；
α=60°，β=405°，α、β是第一象限角，且α＜β，但tanα=

3

＞1=tan405°，∴命題③錯誤；
當x=

π

8

時，函數(shù)y=sin（2x+

5

4

π）=sin(2×

π

8

+

5π

4

)=sin

3π

2

=-1，∴x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5

4

π）的一條對稱軸，∴命題④正確；
由x∈[-

π

3

，

π

2

]，得-

π

2

≤

3

2

x≤

3π

4

，∴-2≤2sin

3

2

x≤2，∴命題⑤錯誤．
∴正確命題的序號是①④．
故答案為：①④．

點評：本題考查了三角函數(shù)中恒等變換的應用，考查了三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及值域的求法，是中檔題．