Question

10．三角形PAB周長(zhǎng)是2$\sqrt{10}$+6，A（-3，0），B（3，0），P是動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x²+（y-6）²=2上的點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求P，Q兩點(diǎn)間的最大距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)），a=$\sqrt{10}$，c=3，即可求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求出P與圓心的距離的最大值，即可求P，Q兩點(diǎn)間的距離的最大值．

解答 解：（1）∵三角形PAB周長(zhǎng)是2$\sqrt{10}$+6，A（-3，0），B（3，0），
∴PA+PB=2$\sqrt{10}$＞AB，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)），a=$\sqrt{10}$，c=3，
∴b=1，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{10}+{y}^{2}$=1（y≠0）；
（2）設(shè)P（x，y），則P與圓心的距離為$\sqrt{{x}^{2}+（y-6）^{2}}$=$\sqrt{-9（y+\frac{2}{3}）^{2}+52}$
∵-1≤y≤1，
∴y=-$\frac{2}{3}$時(shí)，P與圓心的距離的最大值為2$\sqrt{13}$，
∴P，Q兩點(diǎn)間的距離的最大值為2$\sqrt{13}$+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義與方程，考查兩點(diǎn)間距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．