Question

設(shè)各項為正的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：2S_n=a_n•（a_n+1）；數(shù)列{b_n}滿足：b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），且b₁=1．
（1）求a_n和b_n；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

bn+2n

}的前n項和，若T_n≤λa_n+1對一切n∈N^*恒成立，求實數(shù)λ的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）確定數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項；利用疊加法求數(shù)列{b_n}的通項；
（2）利用裂項求和可求T_n，從而T_n≤λa_n+1對一切n∈N^*恒成立，可轉(zhuǎn)化為

n

n+2

≤λ（n+1）對一切n∈N^*恒成立，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）n=1時，2S₁=a₁•（a₁+1），∴a₁=1
∵2S_n=a_n•（a_n+1），
∴n≥2時，2S_n-1=a_n-1•（a_n-1+1），
兩式相減，整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n；
∵b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=

n(n-1)

2

+1=

n2-n+2

2

n=1時也成立，
∴b_n=

n2-n+2

2

；
（2）

1

bn+2n

=

2

n2+3n+2

=2（

1

n+1

-

1

n+2

），
∴T_n=2（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=

n

n+2

，
∵T_n≤λa_n+1對一切n∈N^*恒成立，
∴

n

n+2

≤λ（n+1）對一切n∈N^*恒成立，
∴λ≥

n

(n+2)(n+1)

．
∵

n

(n+2)(n+1)

=

1

n+ 2 n +3

≤

1

1+2+3

=

1

6

（n=1或2），
∴λ≥

1

6

，
∴實數(shù)λ的最小值為

1

6

．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用及數(shù)列的裂項求和及數(shù)列的單調(diào)性在數(shù)列的最值求解中的應(yīng)用，難度中等．