Question

已知直線l：2x+y+4=0，圓C：x²+y²+2x-4y+1=0．
（1）直線m與直線l平行，且與圓C相切，求m的方程；
（2）設(shè)直線l和圓C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，求過(guò)A，B的圓中面積最小的圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）結(jié)合斜率為-2，利用待定系數(shù)法給出直線的方程，然后根據(jù)相切列出關(guān)于待定系數(shù)的方程，解之即可；
（2）顯然以直線與圓相交弦AB為直徑時(shí)，動(dòng)圓的面積最小，只需求出兩交點(diǎn)A，B，則圓心、半徑可求．

解答： 解：（1）易得直線l的斜率為-2，圓C的圓心為點(diǎn)（-1，2），半徑為2．
設(shè)直線m的方程為2x+y+k=0，
由直線與圓相切得

|k|

5

=2，解得k=±2

5

．所以m的方程為2x+y±2

5

=0．
（2）由

2x+y+4=0 x2+y2+2x-4y+1=0

可得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-

11

5

，

2

5

），（-3，2）．
由題意，過(guò)A，B且面積最小的圓即以線段AB為直徑的圓，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得圓心為（-

13

5

，

6

5

），半徑r=

1

2

(- 11 5 +3)2+( 2 5 -2)2

=

2 5

5

．
故所求方程為（x+

13

5

）²+（y-

6

5

） ²=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的相切問(wèn)題，主要是考慮圓心到直線的距離等于半徑列方程．本題的第二問(wèn)則利用弦長(zhǎng)和直徑的關(guān)系進(jìn)行分析，則AB變成直徑時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓最小．