Question

已知直線(xiàn)l：2x+y+4=0與圓C：x²+y²+2x-4y+1=0的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B．
（1）求A，B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D在x軸上，使三角形ABD為等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（1）利用方程組可以解得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）因?yàn)椴荒艽_定哪個(gè)角是直角，所以需分類(lèi)討論，然后利用垂直、模長(zhǎng)相等列方程（組）．

解答： 解：（1）由

2x+y+4=0 x2+y2+2x-4y+1=0

可得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A （-

11

5

，

2

5

），B （-3，2）．
（2）①當(dāng)DA=DB時(shí)，易得直線(xiàn)l的斜率為-2，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的斜率為

1

2

，中點(diǎn)為 （-

13

5

，

6

5

），
所以線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程為x-2y+5=0．
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-5，0）．
②當(dāng)DA=BA時(shí)，以A 為圓心，AB為半徑的圓A的方程為（x+

11

5

）²+（y-

2

5

） ²=

16

5

．
圓A與x軸的交點(diǎn)為（-

11

5

+

2 19

5

，0）和（-

11

5

-

2 19

5

，0）．
③當(dāng)BA=BD時(shí)，以B為圓心，AB為半徑的圓與x軸無(wú)交點(diǎn)．
所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （-5，0）或（-

11

5

+

2 19

5

，0）或（-

11

5

-

2 19

5

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)、圓的交點(diǎn)問(wèn)題，即利用它們的方程來(lái)研究交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合垂直、距離公式構(gòu)造方程組求解．