Question

【題目】在六條棱長(zhǎng)分別為2、3、3、4、5、5的所有四面體中，最大的體積是多少？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】；證明見(jiàn)解析

【解析】

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊這個(gè)性質(zhì)，按題設(shè)數(shù)據(jù)，所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，從而題設(shè)四面體中，以棱長(zhǎng)為2的棱為公共邊的兩個(gè)面的其余兩邊只可能是下列三種情形：（I）（A）與（B），（II）（A）與（C）；（III）（B）與（C），于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)棱長(zhǎng)分別為（I）（II）（III）的四面體來(lái)計(jì)算體積的最大值（或估計(jì)）.

由三角形兩邊之差小于第三邊這個(gè)性質(zhì)，按題設(shè)數(shù)據(jù)，所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，從而題設(shè)四面體中，以棱長(zhǎng)為2為公共邊的兩個(gè)面的其余兩邊只可能是下列三種情形：（I）（A）與（B），（II）（A）與（C）；（III）（B）與（C）.

對(duì)情形（I）（A）與（B），四邊形沿AB折疊后使，則由得，即是四面體以為底面的高，

∴體積為；

對(duì)情形（II）（A）與（C）四邊形沿AB折疊后使，有兩種情形，它們體積相等，記為，∵，∴為鈍角，與平面斜交，

∴；

對(duì)情形（III），（B）與（C），這樣的四面體也有兩個(gè)，體積也相等，記為，

.

∴最大體積為.