Question

11．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1的值域為（-∞，-1]∪[3，+∞），則a=1．

Answer 1

分析 對a分類分析，可知當a＞0時，函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1的值域符合題意，求出其值域，結(jié)合f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1的值域為（-∞，-1]∪[3，+∞）列關(guān)于a的方程組求a

解答 解：若a=0，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1=x+1，值域為（-∞，+∞），不滿足題意；
若a＜0，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1在（-∞，0），（0，+∞）上為增函數(shù)，函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1的值域為（-∞，+∞），不滿足題意；
若a＞0，則當x＞0時，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{a}{x}}$+1=2$\sqrt{a}$+1，當且僅當x=$\sqrt{a}$時取“=”；
當x＜0時，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1≤-2$\sqrt{-x•\frac{a}{-x}}$+1=-2$\sqrt{a}$+1，當且僅當x=-$\sqrt{a}$時取“=”．
由$\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{a}+1=3\\-2\sqrt{a}+1=-1\end{array}\right.$，
解得a=1，
故答案為：1．

點評 本題考查函數(shù)值域的求法，訓練了利用基本不等式求最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．