Question

15．如圖（甲），等腰直角三角形的底邊AB=4，點D在線段AC上，DE⊥AB于點E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（乙））
（Ⅰ）求證：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，PD=$\sqrt{2}$，求四棱錐P-DEBC的體積．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)翻折后DE仍然與BE、PE垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由線面垂直的性質(zhì)可得PB⊥DE；
（II）證明PE⊥平面DEBC，PE是四棱錐P-DEBC的高，求出DEBC的面積，即可求四棱錐P-DEBC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，
∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，
又∵PB?平面PEB，∴BP⊥DE；
（Ⅱ）解：∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE∩BE=E，
∴PE⊥平面DEBC，
∴PE是四棱錐P-DEBC的高．
在等腰直角三角形PED中，由PD=$\sqrt{2}$，可得PE=1，
∴在等腰直角三角形AED中，AE=DE=1，S_△AED=$\frac{1}{2}×DE×AE$=$\frac{1}{2}$，
在等腰直角三角形ACB中，過C作CM⊥AB于M，則CM=2，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}×AB×CM$=4，∴S_DEBC=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴V_P-DEBC=$\frac{1}{3}×\frac{7}{2}×1$=$\frac{7}{6}$．

點評 本題考查求四棱錐P-DEBC的體積，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．