【題目】設(shè) ,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線2x+y+1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)若x∈[1,+∞),f(x)≤m(x﹣1)恒成立,求m的范圍.
(3)求證:

【答案】
(1)解:

由題設(shè) ,

∴1+a=1,∴a=0.


(2)解: ,x∈(1,+∞),f(x)≤m(x﹣1),即

設(shè) ,即x∈(1,+∞),g(x)≤0.

①若m≤0,g'(x)>0,g(x)≥g(1)=0,這與題設(shè)g(x)≤0矛盾.

②若m>0方程﹣mx2+x﹣m=0的判別式△=1﹣4m2

當(dāng)△≤0,即 時(shí),g'(x)≤0.

∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,

∴g(x)≤g(1)=0,即不等式成立.

當(dāng) 時(shí),方程﹣mx2+x﹣m=0,其根 , ,

當(dāng)x∈(1,x2),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)>g(1)=0,與題設(shè)矛盾.

綜上所述,


(3)解:由(2)知,當(dāng)x>1時(shí), 時(shí), 成立.

不妨令

所以

累加可得


【解析】(1)求得函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),利用曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線2x+y+1=0垂直,即可求a的值;(2)先將原來(lái)的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 ,設(shè) ,即x∈(1,+∞),g(x)≤0.利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)在(0,+∞)上單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.(3)由(2)知,當(dāng)x>1時(shí), 時(shí), 成立.不妨令 ,得出 ,再分別令k=1,2,…,n.得到n個(gè)不等式,最后累加可得.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.奇函數(shù)
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x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

50

70


(1)求回歸直線方程;
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:
(2)試預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出為10萬(wàn)元時(shí),銷售額多大?

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