【題目】已知圓C：x2+（y﹣1）2=5，直線(xiàn)l：mx﹣y+1﹣m=0． （Ⅰ）求證：對(duì)m∈R，直線(xiàn)l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)l與圓C交與不同兩點(diǎn)A、B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）若定點(diǎn)P（1，1）分弦AB為 = ，求此時(shí)直線(xiàn)l的方程．

【答案】（Ⅰ）證明：圓C：x2+（y﹣1）2=5，可得圓心C（0，1），半徑為 ． ∴圓心C到直線(xiàn)l：mx﹣y+1﹣m=0的距離d= ≤ = ．
∴直線(xiàn)l與圓C相交，即直線(xiàn)l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
（Ⅱ）解：當(dāng)M與P不重合時(shí)，連接CM、CP，則CM⊥MP，
∴|CM|2+|MP|2=|CP|2 ，
設(shè)M（x，y）（x≠1），則x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
化簡(jiǎn)得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0（x≠1），
當(dāng)M與P重合時(shí)，x=y=1也滿(mǎn)足上式．
故弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是x2+y2﹣x﹣2y+1=0．
（Ⅲ）解：設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 = ，得 = ，
∴ ，化簡(jiǎn)的x2=3﹣2x1…①
又 消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0…（*）
∴ …②
由①②解得 ，帶入（*）式解得m=±1，
∴直線(xiàn)l的方程為x﹣y=0或x+y﹣2=0．

【解析】（Ⅰ）圓C：x2+（y﹣1）2=5，可得圓心C（0，1），半徑為 ．求出圓心C到直線(xiàn)l：mx﹣y+1﹣m=0的距離d；利用基本不等式的性質(zhì)、比較d與半徑的關(guān)系即可得出．（Ⅱ）當(dāng)M與P不重合時(shí)，連接CM、CP，則CM⊥MP，利用勾股定理與兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出；（Ⅲ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 = ，得 = ，直線(xiàn)與圓的方程聯(lián)立消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè) ，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范圍．
（3）求證： ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）= ，且對(duì)任意的x∈R都有f（x+1）=﹣ ，若在區(qū)間[﹣5，1]上函數(shù)g（x）=f（x）﹣mx+m恰有5個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A.[﹣ ，﹣ ）
B.（﹣ ，﹣ ]
C.（﹣ ，0]
D.（﹣ ，﹣ ]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在區(qū)間D上，如果函數(shù)f（x）為減函數(shù)，而xf（x）為增函數(shù)，則稱(chēng)f（x）為D上的弱減函數(shù)．若f（x）=
（1）判斷f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是否為弱減函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線(xiàn)L經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣4，﹣3），且被圓（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦長(zhǎng)為8，則直線(xiàn)L的方程是 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為得到函數(shù)y=sin（x+ ）的圖象，可將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，或向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度（m，n均為正數(shù)），則|m﹣n|的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答.

（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；

（2）規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對(duì)理科題的概率均為，答對(duì)文科題的概率均為，若每題答對(duì)得10分，否則得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分的分布列與數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C1： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 離心率為e1；雙曲線(xiàn)C2： ﹣ =1的左、右焦點(diǎn)分別為F3 ， F4 ， 離心率為e2 ， 已知e1e2= ，且|F2F4|= ﹣1．

（1）求C1、C2的方程；
（2）過(guò)F1作C1的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)OM與C2交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形APBQ面積的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)相同， ，為橢圓的左、右焦點(diǎn)．為橢圓上任意一點(diǎn)，△面積的最大值為1．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線(xiàn)：交橢圓于，兩點(diǎn)．

（i）若直線(xiàn)與的斜率分別為，，且，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（ii）若直線(xiàn)的斜率時(shí)直線(xiàn)，斜率的等比中項(xiàng)，求△面積的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案