Question

13．f（x）=$\frac{alnx}{x+1}$+$\frac{x}$在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0．設(shè)h（x）=（x+1）f（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，解方程可得a=b=1，再求h（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：f（x）=$\frac{alnx}{x+1}$+$\frac{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a+\frac{a}{x}-alnx}{（x+1）^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}$，
由在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0，
可得f（1）=1，f′（1）=-$\frac{1}{2}$，
即為b=1，$\frac{a}{2}$-b=-$\frac{1}{2}$，解得a=b=1，
即有f（x）=$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$，
則h（x）=（x+1）f（x）=lnx+1+$\frac{1}{x}$（x＞0），
h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減．
則函數(shù)h（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查直線方程的運(yùn)用，運(yùn)算求解能力，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．