Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，平面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）證明：平面PBC⊥平面PDC；
（Ⅱ）若PA⊥AB，求二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面PBC⊥平面PDC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出二面角B-PD-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）取PC，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DF，DE，EF，
由已知可得PD=CD，
則DE⊥PC，
∵平面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，
∴PB⊥BC，
又E，F(xiàn)是PC，BC的中點(diǎn)，
∴EF∥PB．DF∥AB．
∴BC⊥平面DEF，∴BC⊥DE，
∵BC∩PC=C，
∴DC⊥平面PBC，
又DE?平面PDC，
∴平面PBC⊥平面PDC；
（Ⅱ）建立如圖所表示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則B（1，0，0），P（0，0，1），D（0，1，0），C（1，2，0），
則

BP

=(-1，0，1)，

PD

=(0，1，-1)，

DC

=(1，1，0)，
設(shè)平面BPD，平面CPD的法向量分別為

m

=（x₁，y₁，z₁），

n

=（x₂，y₂，z₂），
則

-x1+z1=0 y1-z1=0

，令x₁=1，得

m

=（1，1，1），

y2-z2=0 x2+z2=0

，令x₂=1，得

n

=（1，-1，-1），
觀察可得二面角B-PD-C的平面角為銳角，設(shè)為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

1

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查面面垂直的判定，以及二面角的求法，建立坐標(biāo)系利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．