Question

18．探究C${\;}_{n}^{0}$6ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$6¹+C${\;}_{n}^{2}$6²+…+C${\;}_{n}^{n-1}$6^n-1除以8的余數(shù)是多少？（n∈N^*）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，把C${\;}_{n}^{0}$6ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$6¹+C${\;}_{n}^{2}$6²+…+C${\;}_{n}^{n-1}$6^n-1表示成（8-1）ⁿ-1的形式，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式，求出除以8的余數(shù)．

解答 解：∵C${\;}_{n}^{0}$6ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$6¹+C${\;}_{n}^{2}$6²+…+C${\;}_{n}^{n-1}$6^n-1=${C}_{n}^{0}$6⁰+${C}_{n}^{1}$6¹+${C}_{n}^{2}$6²+…+${C}_{n}^{n}$6ⁿ-1
=（1+6）ⁿ-1
=（8-1）ⁿ-1，
利用二項(xiàng)式展開(kāi)，得
${C}_{n}^{0}$8ⁿ+${C}_{n}^{1}$8^n-1（-1）+${C}_{n}^{2}$8^n-2（-1）²+…+${C}_{n}^{n-1}$8（-1）^n-1+${C}_{n}^{n}$（-1）ⁿ-1，
除了最后兩項(xiàng)，其余各項(xiàng)都能被8整除，
所以余數(shù)是${C}_{n}^{n}$（-1）ⁿ-1；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，余數(shù)為8+（-1-1）=6，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，余數(shù)為（-1）ⁿ-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的靈活應(yīng)用問(wèn)題，也考查了整除原理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．