【題目】如圖,一個(gè)角形海灣AOB,∠AOB=2θ(常數(shù)θ為銳角).?dāng)M用長(zhǎng)度為l(l為常數(shù))的圍網(wǎng)圍成一個(gè)養(yǎng)殖區(qū),有以下兩種方案可供選擇:
方案一 如圖1,圍成扇形養(yǎng)殖區(qū)OPQ,其中=l;
方案二 如圖2,圍成三角形養(yǎng)殖區(qū)OCD,其中CD=l;
(1)求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積S1 ;
(2)求證:方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積S2= ;
(3)為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大,應(yīng)選擇何種方案?并說明理由.
【答案】(1)(2)見解析(3)為使養(yǎng)殖區(qū)面積最大,應(yīng)選擇方案一.
【解析】分析:(1)設(shè),利用弧長(zhǎng)公式得,再利用扇形的面積公式,即可求解;
(2)設(shè),由余弦定理和基本不等式得,再利用三角形的面積公式,即可證得;
(3)由(1)(2)得,令,求得,求得函數(shù)的單調(diào)性,得,得,作出相應(yīng)的選擇.
詳解:解:(1)設(shè)OP=r,則l=r·2θ,即r=,
所以 S1=lr=,θ∈(0,).
(2)設(shè)OC=a,OD=b.由余弦定理,得l2=a2+b2-2abcos2θ,所以
l2≥2ab-2abcos2θ.
所以ab≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”成立.
所以S△OCD=absin2θ≤=,即S2=.
(3)-= (tanθ-θ),θ∈(0,),.
令f(θ)=tanθ-θ,則f (θ)=()-1=.
當(dāng)θ∈(0,)時(shí),f (θ)>0,所以f(θ)在[0,)上單調(diào)增,所以,當(dāng)θ∈(0,),
總有f(θ)>f(0)=0.所以->0,得S1>S2.
答:為使養(yǎng)殖區(qū)面積最大,應(yīng)選擇方案一.(沒有作答扣一分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲船在島的正南方處,千米,甲船以每小時(shí)千米的速度向正北航行,同時(shí)乙船自出發(fā)以每小時(shí)千米的速度向北偏東的方向駛?cè)ィ?dāng)甲,乙兩船相距最近時(shí),它們所航行的時(shí)間是( )
A. 分鐘 B. 分鐘 C. 分鐘 D. 分鐘
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(1)求直線 與平面 所成角的大小;
(2)求二面角 的正切值.
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【題目】已知 ,命題 ,命題 .
(1)若 為真命題,求實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(2)若命題 是假命題, 命題 是真命題,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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【題目】在半徑為R的圓內(nèi),作內(nèi)接等腰△ABC,當(dāng)?shù)走吷细遠(yuǎn)∈(0,t]時(shí),△ABC的面積取得最大值 ,則t的取值范圍是 .
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【題目】某校從參加高一年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出60名學(xué)生,將其物理成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖,觀察圖形的信息,回答下列問題:
(1)求分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;
(2)統(tǒng)計(jì)方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表,據(jù)此估計(jì)本次考試中的平均分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】商場(chǎng)銷售某一品牌的羊毛衫,購買人數(shù)是羊毛衫標(biāo)價(jià)的一次函數(shù),標(biāo)價(jià)越高,購買人數(shù)越少.把購買人數(shù)為零時(shí)的最低標(biāo)價(jià)稱為無效價(jià)格,已知無效價(jià)格為每件300元.現(xiàn)在這種羊毛衫的成本價(jià)是100元/ 件,商場(chǎng)以高于成本價(jià)的價(jià)格(標(biāo)價(jià))出售. 問:
(1)商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn),羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元?
(2)通常情況下,獲取最大利潤(rùn)只是一種“理想結(jié)果”,如果商場(chǎng)要獲得最大利潤(rùn)的75%,那么羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件多少元?
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【題目】如圖所示,四棱錐 中,底面 為菱形,且直線 又棱 為 的中點(diǎn),
(Ⅰ) 求證:直線 ;
(Ⅱ) 求直線 與平面 的正切值.
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