Question

如圖，三角形ABC中，AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=3，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l．
（1）求證：直線l∥BC；
（2）若直線l上一點Q滿足BQ∥AC，求平面PAC與平面EQB的夾角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由三角形中位線定理得BC∥EF，由直線與平面平行判定定理得BC∥平面EFA，由此能證明l∥BC．
（2）由已知得四邊形AQBC為矩形，取AC的中點M，連接PM，推導出PM、AC、BC兩兩垂直，以C為原點，分別以

CA

、

CB

、

MP

的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，利用向量法能求出平面PAC與平面EQB的夾角的余弦值．

解答： （1）證明：∵E，F(xiàn)分別為PB，PC中點，∴BC∥EF，
又EF⊆平面EFA，BC?平面EFA，
∴BC∥平面EFA
又BC⊆平面ABC，平面EFA∩平面ABC=l，
∴l(xiāng)∥BC．…（5分）
（2）解：∵l∥BC，BQ∥AC，AC⊥BC，
∴四邊形AQBC為矩形，∴AQ=BC=3，…（6分）
取AC的中點M，連接PM，∵PA=PC=AC=2，∴PM⊥AC，
又∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，PM⊆平面PAC
∴PM⊥平面ABC，∴PM、AC、BC兩兩垂直
以C為原點，分別以

CA

、

CB

、

MP

的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，
建立空間直角坐標系C-xyz，（如圖）
∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，P(1，0，

3

)，
E(

1

2

，0，

3

2

)，B(0，3，0)，Q(2，3，0)
∴

BQ

=(2，0，0)，

BE

=(

1

2

，-3，

3

2

)
設平面EQB的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • BQ =0 n • BE =0

，即

2x=0 1 2 x-3y+ 3 2 z=0

∴x=0，取y=

3

，則z=6，所以

n

=(0，

3

，6)
又平面PAC的一個法向量

m

=(0，1，0)…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

1× 39

=

13

13

∴平面PAC與平面EQB的夾角的余弦值為

13

13

． …（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面夾角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．