Question

【題目】定義：如果函數(shù)f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）滿足 ， ，則稱函數(shù)f（x）是[a，b]上的“雙中值函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“雙中值函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.
B.（ ）
C.（ ，1）
D.（ ，1）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由題意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x

在區(qū)間[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），

滿足f′（x1）=f′（x2）= =a2﹣a，

∵f（x）=x3﹣x2+a，

∴f′（x）=3x2﹣2x，

∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在區(qū)間（0，a）有兩個不相等的解．

令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）

則，

解得； ．

∴實數(shù)a的取值范圍是（ ，1）

故選：C

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用導數(shù)的幾何意義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數(shù)在處的導數(shù)就是切線PT的斜率k，即．