【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣k( +lnx),若x=2是函數(shù)f(x)的唯一一個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )
A.(﹣∞,e]
B.[0,e]
C.(﹣∞,e)
D.[0,e)
【答案】C
【解析】解:∵函數(shù)f(x)= ﹣k( +lnx),
∴函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞)
∴f′(x)= ﹣k(﹣ + )=
∵x=2是函數(shù)f(x)的唯一一個(gè)極值點(diǎn)
∴x=2是導(dǎo)函數(shù)f′(x)=0的唯一根.
∴ex﹣kx=0在(0,+∞)無(wú)變號(hào)零點(diǎn),
令g(x)=ex﹣kx
g′(x)=ex﹣k①k≤0時(shí),g′(x)>0恒成立.g(x)在(0,+∞)時(shí)單調(diào)遞增的
g(x)的最小值為g(0)=1,g(x)=0無(wú)解②k>0時(shí),g′(x)=0有解為:x=lnk
0<x<lnk時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減
lnk<x時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增
∴g(x)的最小值為g(lnk)=k﹣klnk
∴k﹣klnk>0
∴k<e,
由y=ex和y=ex圖象,它們切于(1,e),
綜上所述,k≤e.
故選C
由f(x)的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出,需要對(duì)k進(jìn)行分類討論來(lái)確定導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)的根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=lnx﹣ax+1,其中a為常實(shí)數(shù).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=1時(shí),求證:f(x)≤0;
(3)當(dāng)n≥2,且n∈N*時(shí),求證: <2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:如果函數(shù)f(x)在[a,b]上存在x1 , x2(a<x1<x2<b)滿足 , ,則稱函數(shù)f(x)是[a,b]上的“雙中值函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x3﹣x2+a是[0,a]上的“雙中值函數(shù)”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.
B.( )
C.( ,1)
D.( ,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P(2,-1).
(1)求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程;
(2)求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程,最大距離是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3.
(1)求函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)對(duì)一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,M為BD1的中點(diǎn),N在A1C1上,且滿足|A1N|=3|NC1|.
(1)求MN的長(zhǎng);
(2)試判斷△MNC的形狀.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓 =1(a>b>0),F(xiàn)1、F2分別為橢 圓的左、右焦點(diǎn),A為橢圓的上頂點(diǎn),直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B、
(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;
(2)若 =2 , = ,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE=90°,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG.
(1)求證:EC⊥CD.
(2)求證:AG∥平面BDE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3),將四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周,求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.
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