Question

已知定義在（-1，0）∪（0，1）上的偶函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=

3x

9x+1

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＜t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）若常數(shù)S∈（2，

20

3

），解關(guān)于x的不等式Sf（x）-1＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）轉(zhuǎn)化為x∈（-1，0）時(shí)，-x∈（0，1）利用已知求解．（2）求解f（x）的最大值即可，求出t 的范圍．（3）結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，利用均值不等式求解出答案．

解答： 解：（1）當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，-x∈（0，1）
f（-x）=

3-x

9-x+1

=

3x

9x+1

，
∴x∈（-1，0）∪（0，1）時(shí)，f（x）=

3x

9x+1

．
（2）當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）=

3x

9x+1

令m=3^x，m∈（

1

3

，1），f（m）=

m

m2+1

，
m∈（

1

3

，1），

m2+1

m

=m+

1

m

∈（2，

10

3

），
∴f（m）=

m

m2+1

∈（

3

10

，

1

2

），
由x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＜t恒成立，
∴t≥

1

2

，
（3）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，S•f（x）-1＜0，

9x+1

3x

＞S，
令3^x=t，則t∈（1，3），
可得W=t+

1

t

＞S，t+

1

t

=S，t²-St+1=0，
所以W=t+

1

t

＞0，t∈（

S+ S2-4

2

，3），
x∈（log₃

S+ S2-4

2

，1）
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴x∈（log₃

S+ S2-4

2

，1）∪（-1，-log₃

S+ S2-4

2

）

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式的運(yùn)用，屬于綜合題，難度較大．