Question

在△ABC中，A，B，C為三個內角，求證：sinA+sinB+sinC=4cos

A

2

cos

B

2

cos

C

2

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)恒等式的證明

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：首先，根據(jù)A+B+C=180°，得到sinA=sin（B+C），然后，cos

A

2

=sin（

π

2

-

B+C

2

）利用誘導公式進行化簡展開即可．

解答： 解：∵在三角形ABC中，
∴A+B+C=180°，得sinA=sin（B+C），
則

A

2

=

π

2

-

B+C

2

，
得cos

A

2

=sin（

π

2

-

B+C

2

）
左邊=sin（B+C）+sinB+sinC
則4cos

A

2

cos

B

2

cos

C

2

=4sin

B+C

2

cos

B

2

cos

C

2

=4cos

B

2

cos

C

2

（sin

B

2

•cos

C

2

+cos

B

2

•sin

C

2

），
=4sin

B

2

cos

B

2

cos²

C

2

+4sin

C

2

cos

C

2

cos²

B

2

=sinB（cosC+1）+sinC（CosB+1）
=sin（B+C）+sinB+sinC
=sinA+sinB+sinC
∴左邊=右邊，
原式成立．

點評：本題重點考查了三角公式、三角形的基本性質等知識，屬于中檔題．對于等式證明問題，一般按照從復雜的一邊入手，然后，證明所給等式成立．