Question

13．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值，最小值．

Answer 1

分析 （1）化簡得f（x）=1+sin2x+cos2x-1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ解得增區(qū)間；
（2）根據(jù)x的范圍求出2x+$\frac{π}{4}$的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最值．

解答 解：（1）f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2=1+sin2x+cos2x-1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期是$\frac{2π}{2}$=π．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{7π}{4}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$時(shí)，f（x）取得最大值1，
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．