Question

若函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R都有f（x+3）=-f（x+1），且f（2）=2014，則f[f（2014）+2]+3=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題目特點(diǎn)可知，此題考查了函數(shù)的周期性．由已知f（x）對(duì)任意的x∈R都有f（x+3）=-f（x+1），可知當(dāng)函數(shù)f（x）中的自變量x取值相差2時(shí)，函數(shù)值互為相反數(shù)，則相差4時(shí)函數(shù)值相等，所以函數(shù)f（x）的周期為4k，（k∈Z），且由已知得f（2）=-f（0）=-2014．

解答： 解：由x的任意性，不妨令t=x+1，代入已知f（x+3）=-f（x+1）得f（t+2）=-f（t）①，
所以f（t+4）=f[（t+2）+2]=-f（t+2）=f（t），所以函數(shù)f（x）的周期是4k （k∈Z），
所以f（2014）=f（4×2012+2）=f（2）=2014，
所以f[f（2014）+2]+3=f（2016）+3=f（0）+3，結(jié)合①知f（0）=-f（0+2）=-2014，
所以f[f（2014）+2]+3=-2011．
答案為：-2011

點(diǎn)評(píng)：本題較為抽象，有些難度，所以我們要從函數(shù)的基本概念出發(fā)，利用已知中x的任意性，將f（x+3）=-f（x+1），理解為自變量x的取值從x+3到x+1相差2，則函數(shù)值互為相反數(shù)，則再相差2，則函數(shù)值就和原來相等；所以周期是4．則問題就迎刃而解了．本題還考查了轉(zhuǎn)化思想在解決抽象函數(shù)問題中的應(yīng)用．