Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），數(shù)列{a_n}滿足
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）當(dāng)n取何值時(shí)，b_n取最大值，并求出最大值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，f（a_n）=，g（a_n）=10（a_n-1）．
∴（a_n+1-a_n）×10（a_n-1）+，化為（a_n-1）（10a_n+1-9a_n-1）=0．
又a₁=2，可知：對任意的n∈N^*，a_n-1≠0．
∴10a_n+1-9a_n-1=0，化為10（a_n+1-1）=9（a_n-1）．
∴，
∴數(shù)列{a_n-1}是以a₁-1=1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：，
∴=．
∴==．
當(dāng)n=7時(shí)，，即b₈=b₇；
當(dāng)n＜7時(shí)，，b_n+1＞b_n；
當(dāng)n＞7時(shí)，，b_n+1＜b_n．
∴當(dāng)n=7或8時(shí)，b₈=b₇=取得最大值．
分析：（Ⅰ）通過代入化簡整理，利用等比數(shù)列的定義即可證明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，通過作商即可比較出最大值．
點(diǎn)評：熟練掌握等比數(shù)列的定義、通過作商法比較大小是解題的關(guān)鍵．