Question

12．函數(shù)f（x）=3ax²-2（a+c）x+c （a＞0），設(shè)a＞c＞0，若f（x）＞c²-2c+a 對x≥1恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 先求二次函數(shù)f（x）的對稱軸x=$\frac{a+c}{3a}$，所以根據(jù)a＞c＞0可判斷$\frac{a+c}{3a}＜1$，所以得到函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，最小值便為a-c．所以要使f（x）＞c²-2c+a，對x≥1恒成立，所以只需最小值a-c＞c²-2c+a，解不等式即得c的取值范圍．

解答 解：f（x）的對稱軸為x=$\frac{a+c}{3a}$；
∵a＞c＞0；
∴a+c＜3a；
∴$\frac{a+c}{3a}＜1$；
所以f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，在該區(qū)間上的最小值為f（1）=a-c；
∴a-c＞c²-2c+a；
即c²-c＜0；
∴c∈（0，1）；
即c的取值范圍為（0，1）．

點評 考查二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性特點，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求其最小值．