Question

2．棱錐的三視圖如圖所示，且三個三角形均為直角三角形，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 由三視圖還原幾何體由題意可得x²+y²=5，進(jìn)而由基本不等式可得$\frac{1}{\sqrt{xy}}$的范圍，而$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{x+y}{xy}$≥$\frac{2\sqrt{xy}}{xy}$=2•$\frac{1}{\sqrt{xy}}$，由不等式的性質(zhì)可得．

解答 解：由題意可得該三棱錐的直觀圖如圖所示，設(shè)高AB=h，
則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{{h}^{2}+{y}^{2}={2}^{2}}\\{{1}^{2}+{h}^{2}={x}^{2}}\end{array}\right.$，消去h并整理可得x²+y²=5，
∴5=x²+y²≥2xy，∴xy≤$\frac{5}{2}$，
∴$\sqrt{xy}$≤$\sqrt{\frac{5}{2}}$，∴$\frac{1}{\sqrt{xy}}$≥$\sqrt{\frac{2}{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{x+y}{xy}$≥$\frac{2\sqrt{xy}}{xy}$=2•$\frac{1}{\sqrt{xy}}$≥$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\frac{\sqrt{10}}{2}$時取等號，
故答案為：$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$

點(diǎn)評 本題考查基本不等式求最值，涉及幾何體的三視圖，由三視圖得幾何體并推出xy的關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．