Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，，求整數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值．（2）1

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，再對(duì)分兩種情況討論，即和，即可得答案；

（2）當(dāng)時(shí)，，即， 因?yàn)?/span>，所以只需，令， 利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，可得，再利用導(dǎo)數(shù)研究的最小值，即可得答案；

（1）當(dāng)時(shí)，，所以，

①當(dāng)時(shí)，，在為增函數(shù)，無(wú)極值；

②當(dāng)時(shí)，由得，由得；

所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，取極小值，

綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值．

（2）當(dāng)時(shí)，，將函數(shù)看成以為主元的一次函數(shù)，

則只需證即可，

因?yàn)?/span>，所以只需，令，

，所以．

，令，

，所以在遞增

，

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，，使得，即．

當(dāng)時(shí)，，即，為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，即，為增函數(shù)，

所以，

故；

在遞增，，所以，又

所以整數(shù)的最大值是1．