Question

已知橢圓

x2

2

+

y2

4

=1兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足

PF1

•

PF2

=1，過P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求證：直線AB的斜率為定值；
（3）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

PF1

•

PF2

=1，用坐標(biāo)表示，結(jié)合點(diǎn)P（x，y）在曲線橢圓

x2

2

+

y2

4

=1上，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)出BP的直線方程與橢圓方程聯(lián)立，從而可求A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得AB的斜率為定值；
（3）設(shè)AB的直線方程：y=

2

x+m，與橢圓方程聯(lián)立

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，從而可確定-2

2

＜m＜2

2

，求出P到AB的距離，進(jìn)而可表示△PAB面積，利用基本不等式可求△PAB面積的最大值．

解答：（1）解：由題可得F1(0，

2

)，F2(0-

2

)，
設(shè)P₀（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）
則

PF1

=(-x0，

2

-y0)，

PF2

=(-x0，-

2

-y0)（2分）
∴

PF1

•

PF2

=

x

2 0

-(2-

y

2 0

)=1，
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在曲線上，則

x 2 0

2

+

y 2 0

4

=1，
∴

x

2 0

=

4- y 2 0

2

，從而

4- y 2 0

2

-(2-

y

2 0

)=1，得y0=

2

．
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，

2

)．      （5分）
（2）證明：由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為k（k＞0），（6分）
則BP的直線方程為：y-

2

=k(x-1)．
由

y- 2 =k(x-1) x2 2 + y2 4 =1

得(2+k2)x2+2k(

2

-k)x+(

2

-k)2-4=0，
設(shè)B（x_B，y_B），則1+xB=

2k(k- 2 )

2+k2

，xB=

2k(k- 2 )

2+k2

-1=

k2-2 2 k-2

2+k2

，
同理可得xA=

k2+2 2 k-2

2+k2

，則xA-xB=

4 2 k

2+k2

，yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-1)=

8k

2+k2

．（9分）
所以AB的斜率kAB=

yA-yB

xA-xB

=

2

為定值． （10分）
（3）解：設(shè)AB的直線方程：y=

2

x+m．
由

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=(2

2

m)2-16(m2-4)＞0，得-2

2

＜m＜2

2

P到AB的距離為d=

|m|

3

，（12分）
則S△PAB=

1

2

|AB|•d=

1

2

(4- 1 2 m2)•3

•

|m|

3

=

1 8 m2(-m2+8)

≤

1 8 ( m2-m2+8 2 )2

=

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)m=±2∈(-2

2

，2

2

)取等號(hào)
∴△PAB面積的最大值為

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及向量為載體，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形的面積計(jì)算及利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行解題．