Question

已知點P（1，-

3

2

）在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，過橢圓C的右焦點F₂（1，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若AB是橢圓C經(jīng)過原點O的弦，且MN∥AB，W=

|AB|2

|MN|

．試判斷W是否為定值？若W為定值，請求出這個定值；若W不是定值，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用橢圓的定義求出a=2，再求出b，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）分類討論，當直線斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直線y=k（x-1）代入橢圓方程，消去y可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，再由韋達定理，求出|MN|，同理求出|AB|，即可得出結論．

解答： 解：（1）橢圓C的右焦點為（1，0），∴c=1，橢圓C的左焦點為（-1，0）
可得2a=

(1+1)2+(- 3 2 )2

+

(1-1)2+(- 3 2 )2

=

5

2

+

3

2

=4，解得a=2，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）①當直線斜率不存在時，|AB|²=（2b）²=4b²，|MN|=

2b2

a

，
∴W=

|AB|2

|MN|

=

4b2

2b2 a

=2a=4．…（6分）
②當直線斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直線y=k（x-1）代入橢圓方程，消去y可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴|MN|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

12(k2+1)

3+4k2

．…（10分）
由直線y=kx代入橢圓方程，消去y，并整理得：x²=

12

3+4k2

，
設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
則|AB|=

1+k2

•|x₃-x₄|=4

3(1+k2) 3+4k2

，
∴W=

|AB|2

|MN|

=

48(1+k2) 3+4k2

12(1+k2) 3+4k2

=4
綜上所述，W為定值4．  …（13分）

點評：本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．