Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

x-3

x+3

，g（x）=1+log_a（x-1），（a＞0且a≠1），設(shè)f（x）和g（x）的定義域的公共部分為D，當(dāng)[m，n]?D時(shí)，f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域是[g（n），g（m）]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）的解析式求得f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-3）∪（3，+∞）．同理求得函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），可得D=（3，+∞），根據(jù)f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域是[g（n），g（m）]，可得 g（x）在[m，n]上是減函數(shù)，故有0＜a＜1．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=log_a

x-3

x+3

，∴

x-3

x+3

＞0，解得x＞3，或x＜-3，
故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-3）∪（3，+∞）．
∵g（x）=1+log_a（x-1），（a＞0且a≠1），
∴x＞1，故函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
設(shè)f（x）和g（x）的定義域的公共部分為D，則D=（3，+∞），
∵當(dāng)[m，n]?D時(shí)，f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域是[g（n），g（m）]，
∴g（x）在[m，n]上是減函數(shù)，故有0＜a＜1．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，屬于中檔題．