【題目】某企業(yè)擬生產(chǎn)一種如圖所示的圓柱形易拉罐（上下底面及側(cè)面的厚度不計(jì)），易拉罐的體積為,設(shè)圓柱的高度為，底面半徑為，且,假設(shè)該易拉罐的制造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知易拉罐側(cè)面制造費(fèi)用為元，易拉罐上下底面的制造費(fèi)用均為元為常數(shù))．

（1）寫(xiě)出易拉罐的制造費(fèi)用(元)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求其定義域；

（2）求易拉罐制造費(fèi)用最低時(shí)的值．

【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)， ，易拉罐的制造費(fèi)用最低，當(dāng)時(shí)，，易拉罐的制造費(fèi)用最低.

【解析】

（1）根據(jù)體積的值，得出與的關(guān)系，然后將表面積公式中的轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)等條件得出定義域；

（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值.

解：（1）因?yàn)轶w積為

故，即，

易拉罐的側(cè)面積為，

易拉罐的上下兩底面的面積為，

所以,

因?yàn)?/span>，

所以有，解得，

故，

易拉罐的制造費(fèi)用為；

（2），

令，解得，

若，即，此時(shí)

當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，

故當(dāng)，此時(shí)函數(shù)取得最小值，即易拉罐的制造費(fèi)用最低；

若，即，此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

故當(dāng)，此時(shí)函數(shù)取得最小值，即易拉罐的制造費(fèi)用最低；

綜上：當(dāng)時(shí)， ，易拉罐的制造費(fèi)用最低，

當(dāng)時(shí)，，易拉罐的制造費(fèi)用最低.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，以原點(diǎn)0為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）若曲線方程中的參數(shù)是，且與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的普通方程；

（2）已知點(diǎn)，若曲線方程中的參數(shù)是，，且與相交于，兩個(gè)不同點(diǎn)，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在國(guó)家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研究投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷(xiāo)，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示：

試銷(xiāo)價(jià)格（元）

產(chǎn)品銷(xiāo)量（件）

已知變量，具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)計(jì)算求得回歸直線方程分別為：甲/span>；乙；丙，其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.

（1）試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確？求回歸方程。

（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)1，則該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)關(guān)于的一元二次方程，其中是某范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，分別在下列條件下，求上述方程有實(shí)根的概率.

（1）若隨機(jī)數(shù)；

（2）若是從區(qū)間中任取的一個(gè)數(shù)，是從區(qū)間中任取的一個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象能力(指標(biāo))、推理能力(指標(biāo))、建模能力(指標(biāo))的相關(guān)性，將它們各自量化為1、2、3三個(gè)等級(jí)，再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí)，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問(wèn)了某校10名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)：

學(xué)生編號(hào)

(1)在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標(biāo)相同條件下綜合指標(biāo)值也相同的概率；

(2)在這10名學(xué)生中任取三人，其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)是一級(jí)的學(xué)生人數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．

（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（2）若存在正整數(shù)，使得，試比較與的大小，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一元線性同余方程組問(wèn)題最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期（公元世紀(jì)）的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”問(wèn)題，原文如下：有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，問(wèn)物幾何？即，一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個(gè)整數(shù).設(shè)這個(gè)整數(shù)為，當(dāng)時(shí)， 符合條件的共有_____個(gè)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，是等邊三角形.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設(shè)直線，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn) 異于點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，若.

(ⅰ)求的值；

(ⅱ)已知點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1：（t為參數(shù)），C2：（m為參數(shù)）．

（1）將C1，C2的方程化為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；

（2）設(shè)曲線C1與C2的交點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積的最小值．

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