Question

10．已知y=f（x）是定義域?yàn)镽的單調(diào)函數(shù)，且x₁≠x₂，λ≠-1，α=$\frac{{{x_1}+λ{(lán)x_2}}}{1+λ}，β=\frac{{{x_2}+λ{(lán)x_1}}}{1+λ}$，若|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（α）-f（β）|，則（　�。�

• A． λ＜0
• B． λ=0
• C． 0＜λ＜1
• D． λ＞1

Answer 1

分析 此題主要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)函數(shù)，分類(lèi)討論，將比較函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化為比較自變量的大小，然后建立不等關(guān)系，解之即可．

解答 解：不妨設(shè)y=f（x）是定義在R上的單調(diào)減函數(shù)，由|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（α）-f（β）|，
求得|α-β|＞|x₁-x₂|①．
將α=$\frac{{{x_1}+λ{(lán)x_2}}}{1+λ}，β=\frac{{{x_2}+λ{(lán)x_1}}}{1+λ}$，代入①得|$\frac{1-λ}{1+λ}$|•|x₁-x₂|＞|x₁-x₂|，而x₁≠x₂，可得|$\frac{1-λ}{1+λ}$|＞1，
即：|1-λ|＞|1+λ|，兩邊平方，求得λ＜0．
當(dāng)y=f（x）是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)時(shí)，由|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（α）-f（β）|，
求得|α-β|＞|x₁-x₂|②．
將α=$\frac{{{x_1}+λ{(lán)x_2}}}{1+λ}，β=\frac{{{x_2}+λ{(lán)x_1}}}{1+λ}$，代入②得|$\frac{1-λ}{1+λ}$|•|x₁-x₂|＞|x₁-x₂|，而x₁≠x₂，可得|$\frac{1-λ}{1+λ}$|＞1，
即：|1-λ|＞|1+λ|，兩邊平方求得，求得λ＜0．
綜上可得，λ＜0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的知識(shí)，以及函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．