(12分)(已知拋物線,過定點的直線交拋物線于A、B兩點.
(Ⅰ)分別過A、B作拋物線的兩條切線,A、B為切點,求證:這兩條切線的交點在定直線上.
(Ⅱ)當時,在拋物線上存在不同的兩點P、Q關于直線對稱,弦長|PQ|中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用表示),若不存在,請說明理由.
(Ⅰ)由,得,設
過點A的切線方程為:,即
同理求得過點B的切線方程為:
∵直線PA、PB過,∴,
∴點在直線上,∵直線AB過定點,
,即∴兩條切線PA、PB的交點在定直線上.
(Ⅱ)設,設直線的方程為:
則直線的方程為:,

,             ①
設弦PQ的中點,則
∵弦PQ的中點在直線上,∴,
     ②
②代入①中,得           ③

由已知,當時,弦長|PQ|中不存在最大值.
時,這時,此時,弦長|PQ|中存在最大值,
即當時,弦長|PQ|中的最大值為略
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