Question

【題目】已知，.

（I）若，求函數在點處的切線方程；

（II）若函數在上是增函數，求實數的取值范圍；

（III）令，（是自然對數的底數），求當實數等于多少時，可以使函數取得最小值為3.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）.

【解析】

試題分析：（I）當時，，，，.由點斜式可得切線方程為；（II）函數在上是增函數，導數恒為非負數，分離參數得在上恒成立.利用基本不等式求得右邊函數最小值為，所以；（III），，對分成，且，且三種情況討論最值的情況，進而求得.

試題解析：

（I）當時，，∴，∴，，

∴函數在點處的切線方程為.

（II）函數在上是增函數，

∴在上恒成立，

即在上恒成立.

令，則，當且僅當時，取“=”號.

∴，

∴的取值范圍為.

（III）∵，∴.

（1）當時，，∴在上單調遞減，

，（舍去）.

（2）當且時，，在上恒成立，

∴在上單調遞減，∴，，（舍去）.

（3）當且時，，令，則，令，則，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，∴滿足條件.

綜上所述，當實數時，使的最小值為3.